Entendendo a Divisibilidade por 3

Enquanto revisava a lição de casa da minha filha, comecei a pensar um pouco sobre a regra de divisibilidade por 3. No ensino fundamental aprendemos a regra, usamos, e normalmente seguimos em frente sem perguntar por que ela funciona:

um número é divisível por \(3\) quando a soma dos seus algarismos é divisível por \(3\).

Por exemplo, \(72\) é divisível por \(3\) porque \(7 + 2 = 9\), e \(9\) é divisível por \(3\). O mesmo acontece com \(57\), já que \(5 + 7 = 12\).

Mas por que a soma dos algarismos diz alguma coisa sobre o número original?

Uma primeira pista: somar 9

Uma pista útil é que somar \(9\) muitas vezes mantém a soma dos algarismos inalterada:

\[15 + 9 = 24\]

A soma dos algarismos de \(15\) é \(1 + 5 = 6\), e a soma dos algarismos de \(24\) é \(2 + 4 = 6\).

Outro exemplo:

\[71 + 9 = 80\]

Aqui, \(7 + 1 = 8\) e \(8 + 0 = 8\).

É tentador dizer que somar \(9\) sempre preserva a soma dos algarismos, mas isso não é exatamente verdade:

\[99 + 9 = 108\]

A soma dos algarismos vai de \(9 + 9 = 18\) para \(1 + 0 + 8 = 9\).

Então a soma exata dos algarismos nem sempre é preservada. O que é preservado é o resto da divisão por \(9\), e portanto também o resto da divisão por \(3\).

Essa é a razão real por trás da regra de divisibilidade.

A ideia principal

Na notação decimal, cada posição é uma potência de \(10\):

\[abc = 100a + 10b + c\]

A observação importante é que \(10\) deixa resto \(1\) quando dividido por \(3\):

\[10 \equiv 1 \pmod{3}\]

Por causa disso, as potências de \(10\) também deixam resto \(1\) quando divididas por \(3\):

\[100 \equiv 1 \pmod{3}\]

Então podemos trocar cada casa decimal por \(1\) quando nos importamos apenas com a divisibilidade por \(3\):

\[100a + 10b + c \equiv a + b + c \pmod{3}\]

Em outras palavras, um número e a soma dos seus algarismos têm o mesmo resto quando divididos por \(3\).

É por isso que a regra funciona:

• se a soma dos algarismos é divisível por \(3\), o número original é divisível por \(3\);
• se a soma dos algarismos não é divisível por \(3\), o número original também não é divisível por \(3\).

Testando com exemplos

Pegue \(72\):

\[72 \equiv 7 + 2 = 9 \equiv 0 \pmod{3}\]

Então \(72\) é divisível por \(3\).

Pegue \(58\):

\[58 \equiv 5 + 8 = 13 \equiv 1 \pmod{3}\]

Então \(58\) não é divisível por \(3\).

Por que somar 9 parecia relacionado

A primeira intuição sobre somar \(9\) ainda apontava para a direção certa. Como \(9\) é divisível por \(3\), somar \(9\) não pode mudar se um número é divisível por \(3\) ou não.

Para qualquer inteiro \(n\):

\[n + 9 \equiv n \pmod{3}\]

Então somar \(9\) pode mudar a soma exata dos algarismos, especialmente quando aparece aquele "vai um", mas não muda a divisibilidade do número por \(3\).

Generalizando a regra

Essa regra da soma dos algarismos não é exclusiva dos números decimais. Ela funciona em qualquer base \(b\) onde:

\[b \equiv 1 \pmod{3}\]

Isso significa bases da forma:

\[b = 3N + 1\]

A base decimal funciona porque \(10 = 3 \cdot 3 + 1\).

A base hexadecimal também funciona porque \(16 = 3 \cdot 5 + 1\).

O padrão mais profundo não é sobre o símbolo \(9\) em si. É sobre a base ser um a mais que um múltiplo de \(3\), o que faz cada valor posicional se comportar como \(1\) quando nos importamos apenas com restos módulo \(3\).