Entendendo a Divisibilidade por 3
Revisar junto com a filha as matérias da escola é uma boa oportunidade para entender melhor alguns conceitos. Como por exemplo, nas operações básicas existem algumas propriedades bem curiosas:
- adição de qualquer número ao 9 preserva a soma de seus algarismos.
- qualquer número multiplicado por 3 tem por resultado um número cuja soma dos algarismos também é um múltiplo por três
Nesse post vou analisar os motivos para essas propriedades existirem.
1) adição de qualquer número ao 9 preserva a soma de seus algarismos.
Considerando a operação
\[A + 9 = B\]
A soma dos dígitos de A será igual a soma dos dígitos de B.
Veja alguns exemplos:
Exemplo 1.1:
Na operação
\[15 + 9 = 24\]
a soma dos dígitos de \(15\) (\(1 + 5 = 6\)) será igual a soma dos dígitos do valor resultante \(24\) (\(2 + 4 = 6\))
Exemplo 1.2:
Na soma
\[71 + 9 = 80\]
da mesma forma teremos que \(7 + 1\) será igual a \(8 + 0\), ambos \(8\)
2) qualquer número multiplicado por 3 tem por resultado um número cuja soma dos algarismos também é um múltiplo por três
Considerando a operação
\[A * 3 = B\]
implica assim que a soma dos dígitos de B será um múltiplo de 3.
Exemplo 2.1:
\[24*3 = 72\]
Nessa multiplicação temos que a soma dos dígitos do resultado será \(7 + 2 = 9\), um múltiplo de \(3\)
Exemplo 2.2:
\[19*3 = 57\]
então a soma dos dígitos de \(57\) será um multiplo de \(3\) (\(5 + 7 = 12\))
Mas por quê?
Parando para analisar essas duas propriedades após todos esses anos, só agora entendi que propriedade 2 é decorrência da propriedade 1, ou seja, a operação de multiplicar um número por três esconde uma soma com 9.
Como assim?
Bem, a multiplicação é na verdade uma soma, certo?
Então, \(3*4\) é a mesma coisa que \(3+3+3+3\), que por sua vez podemos remanejar como \(9 + 3 = 12\). Assim se somarmos seus algarismos (\(1 + 2 = 3\)) teremos um múltiplo de \(3\).
E podemos testar isso com outros exemplos, onde é possível remanejar uma multiplicação por \(3\) como uma soma com \(9\):
Exemplo 3.1
\[3*5 = 3+3+3+3+3 = 9+6 = 15.\]
Assim percebemos que a soma do resultado dá um múltiplo de \(3 1+5 = 6\)
Exemplo 3.2
\[3*6 = 3+3+3+3+3+3 = 9+9 = 18\]
Verificamos a propriedade 2, pois \(1 + 8 = 9\).
Multiplicação por 3 então é uma soma com 9
Ou seja, a multiplicação de 3 vezes um número maior que 3 significa somar 9 + 'alguma coisa'. Como essa 'alguma coisa' sempre é um múltiplo de 3 então o resultado de tudo isso vai manter a somatória dos dígitos e também será um múltiplo de 3.
Louco né?
Segue uma pseudo-prova:
Assim considerando qualquer número \(x > 3\) e um \(k = x - 3\), temos:
\[3*x = 3*(k+3) = 3*k+9\]
Como \(3*k\) é um múltiplo de \(3\) e dada a propriedade 1 então os algarismos de \(3 * k + 9\) também serão múltiplos de \(3\).
Por que a propriedade 1 acontece?
Outro ponto a observar é que isso só acontece porque somar com \(9\) é a mesma coisa que somar \(10\) e subtrair \(1\) (\(10 - 1 = 9\)), que soma um ao dígito da dezena \((+1)\) e subtrai um do dígito da unidade \((-1)\), implicando que a somatória dos dígitos não é afetada ($ +1 - 1 = 0$).
E também podemos generalizar dizendo que a propriedade 2 acontece com toda base de número
\[3 * N + 1\]
como por exemplo as bases decimal e hexadecimal.
E o número que possui a propriedade 1 é sempre o número da base menos um: \(9\) para a base decimal e \(F\) para a base hexadecimal.