La règle de divisibilité par 3

En examinant les devoirs de ma fille, j'ai commencé à réfléchir un peu à la règle de divisibilité par 3. À l'école, nous apprenons la règle, nous l'utilisons, puis nous passons généralement à autre chose sans vraiment demander pourquoi elle fonctionne :

un nombre est divisible par \(3\) lorsque la somme de ses chiffres est divisible par \(3\).

Par exemple, \(72\) est divisible par \(3\) parce que \(7 + 2 = 9\), et \(9\) est divisible par \(3\). La même chose arrive avec \(57\), puisque \(5 + 7 = 12\).

Mais pourquoi la somme des chiffres nous dit-elle quelque chose sur le nombre de départ ?

Un premier indice : ajouter 9

Un indice utile est qu'ajouter \(9\) garde souvent la somme des chiffres inchangée :

\[15 + 9 = 24\]

La somme des chiffres de \(15\) est \(1 + 5 = 6\), et la somme des chiffres de \(24\) est \(2 + 4 = 6\).

Un autre exemple :

\[71 + 9 = 80\]

Ici, \(7 + 1 = 8\) et \(8 + 0 = 8\).

Il est tentant de dire qu'ajouter \(9\) préserve toujours la somme des chiffres, mais ce n'est pas tout à fait vrai :

\[99 + 9 = 108\]

La somme des chiffres passe de \(9 + 9 = 18\) à \(1 + 0 + 8 = 9\).

Donc la somme exacte des chiffres n'est pas toujours préservée. Ce qui est préservé, c'est le reste de la division par \(9\), et donc aussi le reste de la division par \(3\).

C'est la vraie raison pour laquelle la règle de divisibilité fonctionne.

L'idée principale

Dans la notation décimale, chaque position est une puissance de \(10\) :

\[abc = 100a + 10b + c\]

L'observation importante est que \(10\) laisse un reste de \(1\) lorsqu'il est divisé par \(3\) :

\[10 \equiv 1 \pmod{3}\]

À cause de cela, les puissances de \(10\) laissent elles aussi un reste de \(1\) lorsqu'elles sont divisées par \(3\) :

\[100 \equiv 1 \pmod{3}\]

Nous pouvons donc remplacer chaque position décimale par \(1\) lorsque nous nous intéressons seulement à la divisibilité par \(3\) :

\[100a + 10b + c \equiv a + b + c \pmod{3}\]

En d'autres termes, un nombre et la somme de ses chiffres ont le même reste lorsqu'ils sont divisés par \(3\).

C'est pour cela que la règle fonctionne :

• si la somme des chiffres est divisible par \(3\), le nombre original est divisible par \(3\) ;
• si la somme des chiffres n'est pas divisible par \(3\), le nombre original ne l'est pas non plus.

Vérifier avec des exemples

Prenons \(72\) :

\[72 \equiv 7 + 2 = 9 \equiv 0 \pmod{3}\]

Donc \(72\) est divisible par \(3\).

Prenons \(58\) :

\[58 \equiv 5 + 8 = 13 \equiv 1 \pmod{3}\]

Donc \(58\) n'est pas divisible par \(3\).

Pourquoi ajouter 9 semblait lié

La première intuition sur l'addition de \(9\) pointait quand même dans la bonne direction. Comme \(9\) est divisible par \(3\), ajouter \(9\) ne peut pas changer le fait qu'un nombre soit divisible par \(3\) ou non.

Pour tout entier \(n\) :

\[n + 9 \equiv n \pmod{3}\]

Donc ajouter \(9\) peut changer la somme exacte des chiffres, surtout lorsqu'il y a des retenues, mais cela ne change pas la divisibilité du nombre par \(3\).

Généraliser la règle

Cette règle de la somme des chiffres n'est pas exclusive aux nombres décimaux. Elle fonctionne dans toute base \(b\) où :

\[b \equiv 1 \pmod{3}\]

Cela signifie les bases de la forme :

\[b = 3N + 1\]

La base décimale fonctionne parce que \(10 = 3 \cdot 3 + 1\).

La base hexadécimale fonctionne aussi parce que \(16 = 3 \cdot 5 + 1\).

Le motif plus profond ne concerne pas le symbole \(9\) en lui-même. Il vient du fait que la base est égale à un multiple de \(3\) plus \(1\), ce qui fait que chaque valeur de position se comporte comme \(1\) lorsque nous nous intéressons seulement aux restes modulo \(3\).