Revisar junto com a filha as matérias da escola é uma boa oportunidade para entender melhor alguns conceitos. Como por exemplo, nas operações básicas existem algumas propriedades bem curiosas:
- adição de qualquer número ao 9 preserva a soma de seus algarismos.
- qualquer número multiplicado por 3 tem por resultado um número cuja soma dos algarismos também é um múltiplo por três
Nesse post vou analisar os motivos para essas propriedades existirem.
1) adição de qualquer número ao 9 preserva a soma de seus algarismos.
Considerando a operação
\[A + 9 = B\]A soma dos dígitos de A será igual a soma dos dígitos de B.
Veja alguns exemplos:
Exemplo 1.1:
Na operação
\[15 + 9 = 24\]a soma dos dígitos de $15$ ($1 + 5 = 6$) será igual a soma dos dígitos do valor resultante $24$ ($2 + 4 = 6$)
Exemplo 1.2:
Na soma
\[71 + 9 = 80\]da mesma forma teremos que $7 + 1$ será igual a $8 + 0$, ambos $8$
2) qualquer número multiplicado por 3 tem por resultado um número cuja soma dos algarismos também é um múltiplo por três
Considerando a operação
\[A * 3 = B\]implica assim que a soma dos dígitos de B será um múltiplo de 3.
Exemplo 2.1:
\[24*3 = 72\]Nessa multiplicação temos que a soma dos dígitos do resultado será $7 + 2 = 9$, um múltiplo de $3$
Exemplo 2.2:
\[19*3 = 57\]então a soma dos dígitos de $57$ será um multiplo de $3$ ($5 + 7 = 12$)
Mas por quê?
Parando para analisar essas duas propriedades após todos esses anos, só agora entendi que propriedade 2 é decorrência da propriedade 1, ou seja, a operação de multiplicar um número por três esconde uma soma com 9.
Como assim?
Bem, a multiplicação é na verdade uma soma, certo?
Então, $3*4$ é a mesma coisa que $3+3+3+3$, que por sua vez podemos remanejar como $9 + 3 = 12$. Assim se somarmos seus algarismos ($1 + 2 = 3$) teremos um múltiplo de $3$.
E podemos testar isso com outros exemplos, onde é possível remanejar uma multiplicação por $3$ como uma soma com $9$:
Exemplo 3.1
\[3*5 = 3+3+3+3+3 = 9+6 = 15.\]Assim percebemos que a soma do resultado dá um múltiplo de $3 1+5 = 6$
Exemplo 3.2
\[3*6 = 3+3+3+3+3+3 = 9+9 = 18\]Verificamos a propriedade 2, pois $1 + 8 = 9$.
Multiplicação por 3 então é uma soma com 9
Ou seja, a multiplicação de 3 vezes um número maior que 3 significa somar 9 + ‘alguma coisa’. Como essa ‘alguma coisa’ sempre é um múltiplo de 3 então o resultado de tudo isso vai manter a somatória dos dígitos e também será um múltiplo de 3.
Louco né?
Segue uma pseudo-prova:
Assim considerando qualquer número $x > 3$ e um $k = x - 3$, temos:
\[3*x = 3*(k+3) = 3*k+9\]Como $3*k$ é um múltiplo de $3$ e dada a propriedade 1 então os algarismos de $3 * k + 9$ também serão múltiplos de $3$.
Por que a propriedade 1 acontece?
Outro ponto a observar é que isso só acontece porque somar com $9$ é a mesma coisa que somar $10$ e subtrair $1$ ($10 - 1 = 9$), que soma um ao dígito da dezena $(+1)$ e subtrai um do dígito da unidade $(-1)$, implicando que a somatória dos dígitos não é afetada ($ +1 - 1 = 0$).
E também podemos generalizar dizendo que a propriedade 2 acontece com toda base de número
\[3 * N + 1\]como por exemplo as bases decimal e hexadecimal.
E o número que possui a propriedade 1 é sempre o número da base menos um: $9$ para a base decimal e $F$ para a base hexadecimal.