En examinant les devoirs de ma fille, j’ai commencé à réfléchir un peu à la règle de divisibilité par 3. En fait, les opérations de base ont des propriétés intéressantes :
- La somme de n’importe quel nombre à 9 préserve la somme de ses chiffres.
- N’importe quel nombre multiplié par 3 donne un nombre dont la somme de ses chiffres sera également un multiple de 3.
Dans ce post, je vais analyser les raisons derrière chacune de ces propriétés.
1) La somme de n’importe quel nombre à 9 préserve la somme de ses chiffres
En considérant l’opération ci-dessous :
\[A + 9 = B\]La somme des chiffres de A sera égale à la somme des chiffres de B.
Jetons un coup d’œil à quelques exemples :
Exemple 1.1:
\[15 + 9 = 24\]la somme des chiffres de $15$ sera égale à la somme des chiffres de la valeur résultante $24$ ($2 + 4 = 6$)
Exemple 1.2:
\[71 + 9 = 80\]$7 + 1$ est égal à $8 + 0$, tous les deux sont $8$.
2) N’importe quel nombre multiplié par 3 donne un nombre dont la somme de ses chiffres sera également un multiple de 3
En considérant l’opération :
\[A * 3 = B\]Cette propriété implique que la somme des chiffres de B sera nécessairement un multiple de 3. Comme nous pouvons le voir dans les exemples ci-dessous :
Exemple 2.1:
\[24 * 3 = 72\]Comme nous pouvons le remarquer, la somme des chiffres de $72$ est $7 + 2 = 9$, un multiple de 3.
Exemple 2.2:
\[19 * 3 = 57\]La somme des chiffres de $57$ est $5 + 7 = 12$, également un multiple de 3.
Une plongée profonde dans la règle de divisibilité par 3
Au collège, nous apprenons la règle de divisibilité par 3 et nous acceptons qu’elle se produise sans vraiment comprendre pourquoi.
Je viens de découvrir que la propriété 2 est dérivée de la propriété 1, c’est-à-dire que multiplier un nombre par 3, c’est aussi faire une somme avec 9.
Comment est-ce possible?
La multiplication est en réalité une séquence d’opérations d’addition, n’est-ce pas?
Ainsi, une opération simple comme
\[3 * 4 = 12\]peut également être exprimée comme une séquence d’additions:
\[3 + 3 + 3 + 3 = 12\]Et peut être réarrangée pour devenir une somme avec $9$:
\[9 + 3 = 12\]Laissez-moi fournir des exemples supplémentaires pour montrer que la multiplication par 3 est équivalente à l’ajout d’un nombre à 9.
Exemple 3.1
\[3*5 = 3+3+3+3+3 = 9+6 = 15.\]Exemple 3.2
\[3*6 = 3+3+3+3+3+3 = 9+9 = 18\]Multiplier par 3 signifie ajouter un nombre k plus 9
Par conséquent, nous pouvons conclure que la propriété 1 est à l’origine de la propriété 2. Lorsque l’on multiplie un nombre par $3$, cela implique l’ajout du nombre à un multiple de $9$. La propriété 1 garantit que la somme des chiffres du multiple de 3 sera préservée. Et étant donné que le multiple de 3 est lui-même un multiple de 3, la somme des chiffres du résultat sera également un multiple de 3.
N’est-ce pas incroyable ?